Background

Risk Navigator (SM) has two Adjusted Vega columns that you can add to your report pages via menu Metrics → Position Risk...: "Adjusted Vega" and "Vega x T^-1/2". A common question is what is our in-house time function that is used in the Adjusted Vega column and what is the aim of these columns. VR(T) is also generally used in our Stress Test or in the Risk Navigator custom scenario calculation of volatility index options (i.e VIX).

Abstract

Implied volatilities of two different options on the same underlying can change independently of each other. Most of the time the changes will have the same sign but not necessarily the same magnitude. In order to realistically aggregate volatility risk across multiple options into a single number, we need an assumption about relationship between implied volatility changes. In Risk Navigator, we always assume that within a single maturity, all implied volatility changes have the same sign and magnitude (i.e. a parallel shift of volatility curve). Across expiration dates, however, it is empirically known that short term volatility exhibits a higher variability than long term volatility, so the parallel shift is a poor assumption. This document outlines our approach based on volatility returns function (VR(T)). We also describe an alternative method developed to accommodate different requests.

VR(T) time decay

We applied the principal component analysis to study daily percentage changes of volatility as a function of time to maturity. In that study we found that the primary eigen-mode explains approximately 90% of the variance of the system (with second and third components explaining most of the remaining variance being the slope change and twist). The largest amplitude of change for the primary eigenvector occurs at very short maturities, and the amplitude monotonically decreases as time to expiration increase. The following graph shows the main eigenvector as a function of time (measured in calendar days). To smooth the numerically obtained curve, we parameterize it as a piecewise exponential function.

Functional Form: Amplitude vs. Calendar Days

To prevent the parametric function from becoming vanishingly small at long maturities, we apply a floor to the longer term exponential so the final implementation of this function is:

where bS=0.0180611, a=0.365678, bL=0.00482976, and ^T*=55.7 are obtained by fitting the main eigenvector to the parametric formula.

Inverse square root time decay

Another common approach to standardize volatility moves across maturities uses the factor 1/√T. As shown in the graph below, our house VR(T) function has a bigger volatility changes than this simplified model.

Time function comparison: Amplitude vs. Calendar Days

Adjusted Vega columns

Risk Navigator (SM) reports a computed Vega for each position; by convention, this is the p/l change per 1% increase in the volatility used for pricing.  Aggregating these Vega values thus provides the portfolio p/l change for a 1% across-the-board increase in all volatilities – a parallel shift of volatility.

However, as described above a change in market volatilities might not take the form of a parallel shift.  Empirically, we observe that the implied volatility of short-dated options tends to fluctuate more than that of longer-dated options.  This differing sensitivity is similar to the "beta" parameter of the Capital Asset Pricing Model.  We refer to this effect as term structure of volatility response.

By multiplying the Vega of an option position with an expiry-dependent quantity, we can compute a term-adjusted Vega intended to allow more accurate comparison of volatility exposures across expiries. Naturally the hoped-for increase in accuracy can only come about if the adjustment we choose turns out to accurately model the change in market implied volatility.

We offer two parametrized functions of expiry which can be used to compute this Vega adjustment to better represent the volatility sensitivity characteristics of the options as a function of time to maturity. Note that these are also referred as 'time weighted' or 'normalized' Vega.

Adjusted Vega

A column titled "Vega Adjusted" multiplies the Vega by our in-house VR(T) term structure function. This is available any option that is not a derivative of a Volatility Product ETP. Examples are SPX, IBM, VIX but not VXX.

Vega x T^-1/2

A column for the same set of products as above titled "Vega x T^-1/2" multiplies the Vega by the inverse square root of T (i.e. 1/√T) where T is the number of calendar days to expiry.

Aggregations

Cross over underlying aggregations are calculated in the usual fashion given the new values. Based on the selected Vega aggregation method we support None, Straight Add (SA) and Same Percentage Move (SPM). In SPM mode we summarize individual Vega values multiplied by implied volatility. All aggregation methods convert the values into the base currency of the portfolio.

Custom scenario calculation of volatility index options

Implied Volatility Indices are indexes that are computed real-time basis throughout each trading day just as a regular equity index, but they are measuring volatility and not price. Among the most important ones is CBOE's Marker Volatility Index (VIX). It measures the market's expectation of 30-day volatility implied by S&P 500 Index (SPX) option prices. The calculation estimates expected volatility by averaging the weighted prices of SPX puts and calls over a wide range of strike prices.

The pricing for volatility index options have some differences from the pricing for equity and stock index options. The underlying for such options is the expected, or forward, value of the index at expiration, rather than the current, or "spot" index value. Volatility index option prices should reflect the forward value of the volatility index (which is typically not as volatile as the spot index). Forward prices of option volatility exhibit a "term structure", meaning that the prices of options expiring on different dates may imply different, albeit related, volatility estimates.

For volatility index options like VIX the custom scenario editor of Risk Navigator offers custom adjustment of the VIX spot price and it estimates the scenario forward prices based on the current forward and VR(T) adjusted shock of the scenario adjusted index on the following way.

• Let S0 be the current spot index price, and
• S1 be the adjusted scenario index price.
• If F0 is the current real time forward price for the given option expiry, then
• F1 scenario forward price is F1 = F0 + (S1 - S0) x VR(T), where T is the number of calendar days to expiry.

For complex, multi-leg options positions comprising two or more legs, TWS might not track all changes to this position, e.g. a vertical spread where the short leg is assigned and the user re-writes the same leg the next day, or if the user creates a the position over multiple trades, or if the order is not filled as a native combination at the exchange.

概要

満期前の株式コールオプションの権利行使は、以下の点により通常は経済的利点がありません:

• オプション・タイムバリューの喪失;
• 株式受け渡しへの支払い、借入にかかる費用の増加;
• オプションプレミアムに関連する株式損失リスクの増加

しかしながら、支払や借入、ダウンサイドのマーケットリスク増加に対応できる口座保有者にとって、アメリカンスタイルのコールオプションの早期権利行使は支払予定の配当金の受け取りが可能なため、経済的利点が発生する可能性があります。

背景

配当金は割り当て日の株式保有者に対して支払われるため、コールオプションの保有者への支払はありません。その他の条件が同じ場合、株価は配当落ち日に配当金分、下落します。オプション価格理論上、コールオプションの価格は限月中、配当金支払い見込みが反映されたものとなりますが、配当落ち日に下落することがあります。この様なシナリオで早期権利行使が好まれる条件は以下のような場合です：

1. オプションがディープ・イン・ザ・マネーでデルタが100

2. オプションのタイムバリューが少額、もしくはゼロ

3. 配当金が比較的高く、配当落ち日がオプション満期日の前にある

例

早期権利行使の影響を例にして見てみます。口座の現金残高が$9,000であり、架空の株式ABCのロング・コール（権利行使価格$90.00）が10日後に満期を迎えると仮定します。ABCの株価は$100.00、配当金額は1株あたり$2.00、権利落ち日は明日であるとします。また、オプション価格と株価の動向は類似しており、権利落ち後に配当金額分下落すると仮定します。

100株のデルタポジションを、パリティ価格でのオプションの売却とパリティ価格以上でのオプションの売却の二つのオプション価格をを想定し、資産の最大化を査定します。

シナリオ1：オプション価格がパリティの時 - $10.00
パリティ価格でオプションが取引されている場合、株式が配当落ち後に資金に変わる際、早期権利行使でポジションデルタを維持し、ロングオプションの損失を避けます。現金は権利行使価格で株式を購入するために使用され、オプションプレミアムは喪失し、株式および配当金受取は口座に反映されます。これは配当落ち日の前にオプションを売却し、株式を購入することで達成できますが、手数用およびスプレッドも考慮してください:

シナリオ2：オプション価格がパリティ価格より上の時 - $11.00
パリティ価格以上でオプションが取り引きされる場合、配当金確保のための早期権利行使には経済的利点がない場合があります。このシナリオでは早期権利行使によりオプション・タイムバリューに$100の損失が発生しますが、オプションを売却して株式を購入した場合、手数料を差し引いた結果、アクションを取らない方がかえって良い可能性もあります。この場合、最も好まれるアクションはオプションを取らないことです。

注意: ロングコール・ポジションをスプレッド取引の一部として保有している場合には、ショートポジションの割り当てが発生した際に、ロングポジションの権利行使を行わないリスクに特に注意を払う必要があります。割り当て日に株式ショートポジションを保有していて、ショートコールの割り当てが発生した場合、株式の貸し手に配当金を支払う義務が発生しますのでご注意ください。また、権利行使処理を行うクリアリング機関は、割り当ての対応として権利行使処理を行いません。

例：SPDR S&P 500 ETF Trust（SPY）のショート100枚（March '13 権利行使$146）とロング100枚（March '13 権利行使$147）を含むクレジットコール（ベア）スプレッドを例にとって考えて見ます。2013年3月14日に1株あたり$0.69372の配当金が発表されたとします。2013年3月19日付で、20134月30日支払の配当金支払見込みが株主の口座に反映されました。米国株式の3営業日決済により、配当金を受け取るには2013年3月14日までに株式の購入、もしくはコールオプションの権利行使を行わなければなりません。それ以降は配当落ち株式となります。

2013年3月14日には満期まで取引日が1日しか残されていません。二つのオプションはパリティ価格で取引され、1枚当たり$100、または100枚のポジションに$10,00の最大リスクが伴います。しかし、配当金の受け取りと、配当金受取を見込んだ、相手方の割り当てからの保護としてのロングコールの権利行使に失敗するとショートコール割り当てに対する配当金支払い義務が発生し、1枚当たり$67.372、または100枚のポジションに$6,737.20の追加のリスクが発生します。以下の表の通り、ショートコール・オプションの割り当てが発生しなかった場合、ポジションの最終決済価格が2013年3月15日に決定し、最大損失リスクは1枚あたり$100に留まります。

お持ちのお口座が米国債ルール871（ｍ）により米国源泉徴収税の対象となっている場合、権利落ち日前に一度ロングポジションをクローズし、権利落ち日後に再度オープンされることにより、効果的に作用する可能性があります。

早期権利行使通知の提出方法については弊社ウェブサイトをご確認ください。

このページは情報提供のみを目的とするものであり、推奨や取引アドバイスではなく、早期権利行使がすべてのお客様やトレーダーに適していることを結論付けるものではありません。口座を保有されるお客様は専門の税理士にご相談の上、早期権利行使による課税への影響をご確認ください。また、ロングポジションの変わりに株式ポジションを保有するにあたって発生する可能性のあるリスクにご注意ください。

General overview of the Option Strategy Lab